Conceptos básicos(Funciones)

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?

Se puede expresar mediante una tabla de valores en la que se refleje la magnitud independiente y  una gráfica, conjunto de los puntos obtenidos colocando sobre el eje de las abscisas la variable independiente y en el de coordenadas la variable dependiente.

2. ¿Qué es una función?

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamadocodominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman elrecorrido, también llamado rango o ámbito). ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Se puede expresar mediante una tabla de valores en la que se refleje la magnitud independiente y sus imágenes  o una gráfica.

Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:

 

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder. Es el número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor "a" a otro "b". Si esta diferencia es en aumento, será una función creciente; mientras que si disminuye, será decreciente.

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos. Los máximos y mínimos relativos son valores de y que terminan en un punto máximo y mínimo pero no es el máximo o mínimo, es decir, en el ejemplo el máximo relativo es el punto -1, 2 aunque después del mínimo relativo tiene un valor de y más elevado, por lo que no es el mayor máximo. Lo mismo pasa con el mínimo.

El máximo o mínimo absoluto es el valor de y más alto (o bajo si es mínimo) que tiene una función. En el ejemplo, el máximo absoluto es el punto A, pues es el mayor valor de y que hay. También hay un máximo relativo (punto B), pero no es el mayor valor de y, por lo que no es el máximo absoluto. Lo mismo pasa con los mínimos.

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. Existen dos tipos de simetría dentro de las funciones. Las funciones pares son aquellas que poseen simetría con respecto al eje de las ordenadas. Las imágenes de dos valores opuestos cualesquiera de la variable independiente son iguales. Las funciones impares son simétricas con respecto al origen de coordenadas. 

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma

Una función es periódica si su gráfica repite, de forma consecutiva, un mismo modelo cuyo dominio se llama período de la función.

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

Función continua                                          Función discontinua

Una función es continua en un valor de la variable independiente si, al tomar valores próximos, sus imágenes están próximas a la imagen, es decir, se pueden unir con una recta. Si los valores próximos a tienen imágenes no próximas a la imagen, es decir, hay un espacio, entonces nos encontramos con una función discontinua.

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". 

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B 
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: 
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. 
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. 
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.