Geometria

1. El triángulo
1.1 Propiedades y tipos de triángulos 
Propiedades:

 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.                 
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

1 Según sus lados
                                              
                            Triángulo equilátero

                             Tres lados iguales
  
                                                     
                            Triángulo isósceles  

                             Dos lados iguales


                                              
                           Triángulo escaleno
                           Tres lados desiguales.


2. Según sus ángulos.

                                           
                           Triángulo acutángulo
                           Tres ángulos agudos.


                                               
                          Triángulo rectángulo

              Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. 

                           Los lados menores son los catetos. 

                                  

                                         
                      Triángulo obtusángulo

                                  Un ángulo obtuso.

   

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo (http://gaussianos.com/los-centros-del-trianguloincentro-baricentro-circuncentro-y-ortocentro/) 


BARICENTRO: Es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado.

CIRCUNCENTRO: El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. 


ORTOCENTRO: En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por cada vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo.

INCENTRO: El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo.

1.3 El teorema de Pitágoras 

1.3.1 Demostración gráfica. 

1.3.2 El teorema en 3D 

1.4 El teorema de Tales (vídeo: Les Luthiers - Teorema De Thales https://www.youtube.com/watch?v=UbalEyegXbQ), triángulos semejantes. ¿Cómo calcular la altura de un árbol a partir de su sombra?  
1. Primero medimos la sombra del árbol
2. Luego medimos nuestra altura, y la longitud de nuestra sombra
3. Realizamos los cálculos:
Conclusiones
El teorema de tales es muy efectivo para resolver problemas matemáticos de una forma más rápida y efectiva. Podemos medir cualquier objeto cuando el sol proyecta su sombra, medimos su longitud y la nuestra y luego solo aplicamos la fórmula.
2. Lugares geométricos
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Es un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.
2.2 La mediatriz y la bisectriz 
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.
Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.
2.3 Las cónicas
2.3.1 ¿Qué es una cónica? 
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

2.3.2 La circunferencia 
 Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

La circunferencia es un caso particular de elipse.

2.3.3 La elipse: 
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
    α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.
                                          

Obtención en un cono: ·
                                          
 Método del jardinero:

                                        
 Mesa de billar elíptica:

                                                                         2.3.4 La hipérbola: 
Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
 Obtención en un cono ·
                                                                  
 La lámpara hiperbólica·
                                                    
2.3.5 La parábola: 
 Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.
 Obtención en un cono ·
                                                    
 La antena parabólica·
                                         
 El horno solar:

                                  
 El espejo parabólico:

                                         
3. Movimientos en el plano
3.1 Las traslaciones. ¿Qué es un vector?
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector.
- Un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación.

3.2 Ejercicios de vectores y traslación 

3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar: 

a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas

 b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo

 c) las componentes de los vectores anteriores 

d) el módulo de cada uno de los vectores

Los componentes del vector u+v son (3,7), de u-v (5,-1), de u(4,3) y de v(-1,4)

los módulos del vector u+v es 7,61, de u-v es 5,09

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

3.3 Giros 3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella.

3.4 Simetría. 
Ejercicios 3.4.1 
Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: 

a) dibujar el triángulo 

b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)

 c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B. 

3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para querebotando en la banda MQ golpee a la bola B .

Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Un friso: es la aplicación de una traslación a una misma figura de manera sucesiva. Esta aplicación forma un mosaico.

Mosaicos : Los mosaicos, al igual que los frisos, se pueden generar a partir de un motivo mínimo mediante la combinación de diferentes movimientos.

       Cenefas : Es un elemento decorativo largo y estrecho que se coloca en una pared rodeando su perímetro o como marco de otros elementos decorativos.

3.6 MC. Escher
Es un artista nacido en 1898, en los Países Bajos. Se caracteriza por hacer grabados y obras cuyas formas son imposibles. Crea cuadros de color sepia y en blanco y negro, y juega con las formas engañando al cerebro humano Las obras más conocidas de Escher son probablemente las figuras imposibles, seguidas de los ciclos, metamorfosis y, directa o indirectamente, sus diversos trabajos sobre la estructura de la superficie y la partición regular del plano (patrones que rellenan el plano o teselado).. Sus obras más importantes son:
1. RELATIVITY
                                                   2. DAY AND NIGHT
                                     

 4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas 

5. La esfera y el globo terráqueo 

5.1 Elementos principales de la esfera. 

●Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

●Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

●Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

●Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

●Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

5.2 Elementos de la esfera terrestre.

·                     Meridiano de Greenwich: También conocido como meridiano cero, meridiano base o primer meridiano, es el meridiano a partir del cual se miden las longitudes. Se corresponde con la circunferencia imaginaria que une los polos y recibe su nombre por pasa por la localidad inglesa de Greenwich, en concreto por su antiguo observatorio astronómico.

·                     Ecuador: Es el plano perpendicular al eje de rotación de un planeta y que pasa por su centro. Divide la superficie del planeta en dos partes: el hemisferio norte y el hemisferio sur. Por definición, la latitud del ecuador es 0°

·                     Paralelos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.